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平成30年度後期 (再)微分積分学T及び演習

曜日 火曜日 時間 13:20〜16:50 場所 教室:123

教科書:『微分積分の基礎』飯田洋市、大野博通、岡本葵、河邊淳、鈴木章斗、高野嘉寿彦共著(培風館)

授業後記

回数 日付 授業後記 コメント & 試験対策問題
1 10月2日
  • 1時間目
    • 授業のガイダンスをしました。
    • 名簿を書いてもらいました(メールアドレスを含む)
    • 配布した資料をもとに、テキストを作成してもらいました。全ての復習問題(1から13)までを配布したことになります。毎回持参してください。
    • 等差数列・等比数列について解説しました。
    • 等差数列を利用して、数列の極限の話をしました。
  • 2時間目
    • 復習問題1 問題1(3)を解きました。
    • アルキメデスの原理に関する極限の問題、不定形に関する極限の問題を解説し問題演習をしました。
    • 復習問題1 問題1(1)(2)を解きました。
    • 実数について復習し、実数の完備性について解説し、合わせて上限・下限にについて解説しました。
    • 有界な単調列は収束することを説明しました。
    • 上限と下限の求め方を解説し問題演習しました。
    • 復習問題1 問題2を解きました。
    • 最後に、復習問題テキストを確認し、できていた学生には「済」の印鑑を押して、できた学生は終了としました。
  • 数列
    • 等差数列
    • 等比数列
  • 数列の極限
    • アルキメデスの原理
    • 不定形
    • 等比数列
  • 上限・下限
2 10月9日
  • 1時間目
    • 前回の復習後、「有界な単調列は収束する」、特に「上に有界な単調増加列は収束する」という性質を利用して、ネイピア数が存在することの証明をしました(むしろ、定義)。この中で、2項展開や2項係数について確認しました。ライプニッツの定理のところでも使うので、よく練習してください。さらに、階乗の扱い方に関連して、等比数列について復習しました。
    • eの定義式に関連した極限を求める問題演習をしました。復習問題2の問題1(1)を解きました。
  • 2時間目
    • eに関連して、1-1/n(中身がマイナス)の場合について説明し、関連問題をいろいろ解きました。和と差の積に関する問題なども、着眼できるようにしましょう。復習問題2の問題1(2)を解きました。
    • その後、級数について、等比級数を中心に説明しました。解けるパターン(収束)は2つしかないので、よく理解して練習してください。また、無限級数の和を求めることは、第n部分和の極限を求めることであることをよく理解して演習してください。
    • 級数が発散する場合は、もとの数列が0に収束しないことで見分けることができます。定理7(1)とその対偶を教科書に穴が開くくらいよく読んで理解してください。このあたりのロジックは、数学を学習するうえで重要です。
    • 復習問題2の問題2を演習してもらいました。出来が良くなかったですが、次週の初めにチェックするので、確実に理解して演習してきてください。時間がある学生は、居残りをして頑張りました。
  • エクストラ
    • 復習プリントが終了しなかった学生の対応をしました。残っていた学生は、全て終了することができました(「済」のハンコウが押せました!)。
  • 有界な単調列は収束する。
    • 下に有界な単調減少列は収束する→アルキメデスの原理(に同値な)の式
    • 上に有界な単調増加列は収束する→ネイピア数e
  • 級数
    • 第n部分和の極限として定義される
  • 収束する級数
    • 等比級数(公式レベル)
    • 第n部分和が、引き算を利用してうまくもとまるもの
  • 発散する級数
    • 数列a_nが0に収束しない!
3 10月16日
  • 1時間目
    • 前回終了しなかった学生の復習プリントのチェックをしました。
    • 級数と数列について、復習をしました。
  • 2時間目
    • 三角関数と逆三角関数の説明に入りました。
    • 三角定規の話題から、三角比を復習しました。それを0°と90°に拡張しました。
    • 度数法からラジアンへ変換の練習をし、ラジアンによる三角比の計算練習をしました。
    • 一般角について説明し、第1象限、第2象限、第3象限、第4象限に点がある場合の三角関数の値を計算練習しました。特に、符号のつけ方を覚える方法を図で説明しました。
    • 問題演習をしました。
    • 復習プリント3 問題1(1)(2)(3)
  • コメント:復習プリントに要点をまとめ、次週までに必ず1時間以上は復習すること!
  • 三角関数の値の計算
    • サイン関数
    • コサイン関数
    • タンジェント関数
  • 三角関数の基本公式
    • cos^2 x +sin^2 x=1
    • tan x=sin x/cos x
    • 1+1/tan^2 x =1/cos^2 x
4 10月23日
  • 申し送り事項:グラフ電卓を利用して、三角関数のグラフを描く
  • 1時間目
    • 三角関数の数値計算や基本公式を確認しました。
    • その後、グラフ電卓を利用して、三角関数のいろいろなグラフを描きました。
    • サイン関数が奇関数である事、コサイン関数がぐう関数であることを説明しました。また、それらのマクローリン展開について解説しました。
    • 三角関数の極限を求める問題を解説し、問題演習しました。
    • 復習プリント4 (1)(2)(5)(6)
  • 2時間目
    • 逆関数について説明し、逆三角関数について解説しました。グラフ電卓で、逆三角関数のグラフを描きました。定義域、値域をしっかり覚えてください。
    • 逆三角関数の極限を求める問題を解説し、問題演習しました。
    • 復習プリント3 問題1(4)(5)、問題2
    • 復習プリント4 (7)・・・(3)(4)以外
  • コメント:
  • 三角関数
    • グラフ
    • 偶関数と奇関数
    • マクローリン展開
    • 極限の問題
  • 逆三角関数
    • 逆関数が定義できる条件
    • 定義域と値域
    • グラフ
    • 極限の問題
5 10月30日
  • 申し送り事項:指数関数と対数関数、復習プリント4(3)(4)
  • 1時間目
    • 指数関数を復習し、対数関数を指数関数の逆関数の視点でグラフから定義しました。
    • 指数法則、対数法則について復習しました。また、問題演習をしました。
    • 「logはlogのままで考えられるようにすること」
    • 指数関数、対数関数に関する極限問題を解説し、問題演習しました。
    • 復習プリント4(3)(4)
  • 2時間目
    • 復習プリントの問題を解説した後、微分に入りました。
    • 微分係数を直観的に「接線の傾き」を利用して定義した上で、サイン関数、コサイン関数の導関数をグラフから求めました。
    • 2変数関数の全微分、偏微分、接平面について、接線などと比較して解説しました。
    • 基本公式1は覚えましょう。
    • 微分係数を本来の定義に従い再定義し、関連する問題を解きました。
    • 定理2で、関数の積と商の微分公式を解説し、問題演習しました。
    • 復習プリント5を解き、ハンコウを押しました。
  • 指数関数と対数関数
    • 逆関数の関係としてのグラフ
    • logをlogのままで考えられる
    • 極限の問題
  • 微分
    • 導関数
    • 基本公式1(p.31)
    • 関数の積の微分公式(p.32)
    • 関数の商の微分公式
    • 積分を意識する
6 11月6日
  • 申し送り事項:合成関数の微分公式から
  • 1時間目
    • 合成関数の説明をし、合成関数の微分の公式を紹介しながら、問題演習しました。
    • 復習問題6
    • 対数微分法の説明をしました。
    • 双曲線関数の定義を紹介し、導関数を計算しました。
  • 2時間目
    • 逆関数の微分の公式を紹介し、逆三角関数の微分を導きました。
    • 媒介変数表示で表される関数の微分の公式を紹介し、問題演習しました。
    • 接線の方程式、法線の方程式の説明をし、問題演習しました。
    • 2変数関数の接平面の方程式、法線の方程式などの説明を、1変数関数の接線、法線にからめて話しました。ベクトルで扱うこと、直交、平行がキーになることを説明しました。
  • いろいろな微分公式
    • 合成関数の微分公式
    • 逆関数の微分公式
    • 媒介変数表示の関数の微分公式
  • 双曲線関数
    • sinh x
    • cosh x
    • tanh x
  • 平面内のベクトル方程式
    • 接線の方程式
    • 法線の方程式
7 11月13日 
  • 1時間目
    • 高次導関数の定義と記号の説明をし、典型例を3つ紹介しました。
    • 復習問題7(1)を解きました。
    • ライプニッツの定理を、具体例を示したうえで、2項展開と比較しながら解説しました。
    • 具体的な問題を解きました。
  • 2時間目
    • ライプニッツの定理について、具体例を問題演習しました。
    • 復習問題7(2)(3)(4)(5)を問題演習しました。
    • 三角関数の加法定理について、回転行列との関係から解説しました。
  • 高次導関数
    • 2種類の記号
    • e^x
    • sin x, cos x
    • 1/(ax+b)
  • ライプニッツの定理
    • 2項定理
    • 2項係数
    • パスカルの三角形
8 11月20日
  • 1時間目
    • 高次導関数について、ライプニッツの定理を含めて復習しました。
    • その後、ロルの定理、平均値の定理、テイラーの定理、マクローリンの定理、さらに、テイラー展開、マクローリン展開を流れに沿って解説しました。
    • 指数関数、サイン関数、コサイン関数のマクローリン展開を計算しました。
    • オイラーの公式を証明しました。
    • 復習問題8をやりました。
  • 2時間目
    • コーシーの平均値の定理から、ロピタルの定理を説明し、問題演習をしました。
    • 復習問題9
  • マクローリン展開
    • e^x
    • sin x, cos x
    • log (x+1)
  • ロピタルの定理
    • 不定形
    • 0/0, ∞/∞, ∞-∞, 0^0など
9 11月27日
  • 申し送り事項:中間レポートの説明をする。
  • 1時間目
    • マクロ―リンの定理とロピタルの定理を復習しました。
    • 平均値の定理を利用して、y'の符号から、グラフの単調性(単調増加、単調減少)を知る方法を解説しました。
    • 極値を計算だけで求める方法を紹介しました。
    • 増減表書き方を説明し、教科書の問題で確かめました。
  • 2時間目
    • 漸近線について解説し、求め方も簡単に紹介しました。
    • 中間課題について資料を配布し、説明しました。
    • 中間課題の問3(2)に取り掛かってもらいました。
    • 積分について解説し、積分の問題を解きました。
    • 復習問題10(1)(2)(3)
  • 極値を求める方法
    • 定理18(y'とy''による方法)
    • グラフの概形
      • 極値(極大値、極小値)
      • 変曲点
      • 漸近線
  • 積分
    • 単項式の積分
    • 多項式の積分
10 12月4日
  • レポート作成日
    • 提出期限:5日午後7時まで
    • 提出場所:2号館2階、助教室前のロッカー
  • 課題を回収しました(12/6 8:00am)。
    • 未提出者:T118107 (あと1名、2018.12.11 17:30現在)
11 12月11日
  • 授業公開日(1時間目)
  • 申し送り事項:積分にはいる。
  • 1時間目
    • 中間課題の問題1の解説をしました。
    • また、プラスアルファの問題演習をしました。
  • 2時間目
    • 積分を基本公式から復習し、公式2を中心に問題演習しました。
    • 復習問題10を完成させました。
  • 級数
    • 収束するか発散するか判定
    • 収束するとき
      • 等比級数の和
      • 差の和の形
  • 公式2
    • 対数の形か判断する。
    • 目の付け所を微分したものを加えて、楽々とく。
12 12月18日
  • 授業公開日(1時間目)
  • 申し送り事項:中間課題の問題2の解説をする。
  • 1時間目
    • 中間課題の問題2の解説をしました。
    • 問題を解くための基本事項と、それを利用した(積分に関連した)応用について解説しました。
  • 2時間目
    • 置換積分、部分積分について解説し、問題演習しました。
  • 置換積分
    • 合成関数の微分
  • 部分積分
    • 関数の積の微分公式
    • 簡単に積分できる関数
    • 微分すると簡単になる関数
13 1月8日
  • 1時間目
    • 中間課題の問題3を解説しました。
    • 漸近線について、詳しく解説しました。
    • 期末課題について説明しました。資料を配布しましたが、次回、新しい資料を配布します。提出方法が変更となります。
  • 2時間目
    • 有理関数の積分について、一般的な理論を交えて解説しました。
    • 部分分数分解の簡単な計算方法をいくつか紹介しました。
    • 復習問題11を完成させました。
  • 有理関数の積分
    • 基本となる6パターン
    • 有理関数の積分計算の4つのステップ
    • 部分分数分解の方法
14 1月15日
  • 1時間目
    • 期末課題について解説しました。
    • 期末課題の問題1を全て解きながら、定積分について解説しました。
  • 2時間目
    • 期末課題の問題2を解きながら、広義積分について解説しました。
    • 積分の応用として、曲線の長さ、回転体の体積について考え方と公式を解説しました。公式に頼るのではなく、考え方を身に付けてください。
  • 授業アンケートを取る時間を忘れました。スマホかパソコンから入力してください。
  • 定積分の計算
    • 置換積分(単調性に気を付けましょう)
    • 部分積分
  • 広義積分の種類
    • 特異積分
    • 無限積分
  • 積分の応用
    • 曲線の長さ
    • 回転体の体積