平成22年度前期 信州大学(松本市) 終了!

微分積分学T

曜日 火曜日 時間 2時限 場所 64教室

期末試験範囲:pp.33-53

○ 6月15日(火)に中間試験を実施します。時間は60分です。

○ 教科書の内容についての質問は,全学共通機構の高野嘉寿彦教授にしてください。対応していただけることになっています。

○ 授業開講日の中に,変則日が有りますので,注意してください。以下の表では表示にしています。

○ 中間試験は第10週目ごろに実施します。

回数 日付 授業後記
  • 授業で扱った問題
  • やるべき問題
1 4月13日
  • 「微分積分に関する到達度評価試験」を15分間で実施しました。その後,自己採点をし,微分積分学Tのための接続教育について説明しました。本日の試験で5題から6題程度のできだった学生は,是非,接続教育を受講してください。
  • 教科書:pp.1-2
  • 内容:数列の収束と発散について,具体例を示しながら解説しました。また根号が関係する数列の極限について,証明をつけながら解説しました。2項定理などをよく復習しておいてください。
  • キーワード:数列,極限値,収束,発散,無限大に発散,2項定理,パスカルの三角形
  • p.1 例1
  • p.2 例2,例3,例4
  • オリジナル:例
2 4月20日
  • 教科書:pp.3-5
  • 内容:実数の特徴づけをしました。具体的には,実数の連続性であり,有界な単調列は収束するというものでした。これを利用してeを定義し,それに関する極限を求める問題を解きました。また数列の極限と関数の極限の違いを解説しました。
  • キーワード:単調増加数列,単調減少数列,上に有界,下に有界,実数の連続性
  • p.3 例5,問1
  • p.4 例6,問2問3
3 4月27日
  • 教科書:pp.5-10
  • 内容:数列の極限についてまとめの問題を解説し,関数の極限について解説しました。また関数の連続性について,ポイントを2つに分けて話しました(@収束することA極限値がf(a)と一致すること)。関数の極限値を求める問題では,不定形の話題に触れました(cf. p.32)。また,教科書を利用して,自然対数についての計算問題を解きました。最後は,関数の単調性について解説しました。
  • キーワード:実数の完備性(理解は不要),開区間,閉区間,高位の無限小不定形,微分,自然対数,(狭義の)単調増加関数,(狭義の)単調減少関数
  • p.5数列の極限の問題
  • p.6例1
  • p.7問1
  • p.9例4,問3,例5
4 5月11日
  • 教科書:pp.10-13
  • 内容:三角関数に関する極限の問題を解説した後,問題演習をしました。不定形,ロピタルの定理,マクローリン展開などにも言及しました。また基本的な三角関数の公式をおさらいしました。後半は,逆三角関数を解説し,問題演習をしました。逆三角関数の定義に先い立ち,逆関数の存在について解説しました。関数の単調性については,微分係数の値と関連させて覚えてください。
  • キーワード:不定形,ロピタルの定理,マクローリン展開,逆関数,単調関数,定義域,逆三角関数,アークサイン,アークコサイン,アークタンジェント,cosec x,sec x,cot x
  • p.11問4
  • p.13例8,例9,問6,問7,問8
5 5月18日
  • 教科書:pp.14-20
  • 内容:数列の無限和,級数について解説しました。もともと級数は何を意味しているかを重点的に解説しました。その後,問題演習をしました。また級数が発散するための十分条件を解説しました(定理9)。後半は微分の話をしました。微分係数,接線の関係を確認し,記号の解説もしました。次に,微分の公式に関連して,関数の積と合成について説明し,それらの微分を具体例で示しました。取り違え内容に注意が必要です。最後は,取り組んでほし教科書の問題を指定しました。右欄を参照してください。
  • キーワード:級数,無限級数,部分和,等比級数,微分可能,微分係数,微分可能,導関数,微分の公式,関数の積に関する微分,関数の合成に関する微分,分数関数に関する微分
  • p.15例2,問1
  • p.16問3
  • p.19例1
  • p.20問1,問2
以下は今後扱います。
  • p.21例3,例4
  • p.22問3,問4,例5,問5
  • p.23問6,問7
6 5月25日
  • 教科書:pp.20-26(pp.23-25除く)
  • 内容:基本公式を利用した微分の計算を復習し,その後,合成関数の微分の公式を確認しながらその演習問題をしました。次に,対数微分法について解説し,オリジナル問題で演習しました。その後,逆三角関数の微分公式を導きました。対数関数関係の微分の公式は,積分のところで利用しますが,基本公式だけ押さえておけば(=暗記)十分です。最後にn回微分可能性について説明し,特に連続微分可能について用語解説しました。そして,分数関数の典型例を利用して,n回導関数を具体的に求める問題演習をしました。次回扱いますので,自分でトライしてください。
  • キーワード:合成関数の微分,対数微分法,逆三角関数の微分,逆関数の微分,n回微分可能,n回連続微分可能,Cn級関数
  • p.20問1,問2
  • p.22問3,問4
  • p.23問6
7 6月4日(金)
  • 教科書:pp.23-27
  • 内容:n回導関数がきれいな形で求められる例として,1/(ax+b),log x, sin x, exsin xについて解説しました。その後,ライプニッツの公式を使って求めるパターンを説明し,演習しました。最後は,少し戻って,接線の方程式の話をしました。特に,媒介変数表示を利用して表されたグラフの接線の方程式の求め方を解説しました。
  • キーワード:n回微分,ライプニッツの公式,接線,媒介変数
  • p.24例6,例7,問8,問9
  • p.25例8,例9,問10
  • p.26例2,例3,問1
  • p.27例4,問3
8 6月8日
  • 教科書:pp.28-33
  • 内容:前回の復習としてp.24問8(2),問9(2)を解説した後,平均値の定理等の説明を行いました。その後,いくつかの演習問題を解きました。さらに,増減表を利用してグラフの概形を描く問題を解き,最後に,ロピタルの定理について説明し問題演習をしました。不定形(0/0,∞/∞,1など)であることを確かめることを忘れないでください。
  • キーワード:ロルの定理,平均値の定理,コーシーの平均値の定理,テイラーの定理,テイラー展開,マクローリンの定理,マクローリン展開,ロピタルの定理
  • p.30例2
  • p.31例3,問2,問3
  • p.32問4,例4,問5
9 6月15日
  • 教科書:pp.33-35
  • 内容:テイラーの定理を紹介し,平均値の定理との関係を説明しました。次に,マクローリンの定理を紹介し,先のテイラーと比較することで,テーラーの定理の意味を確認しました(任意の微分可能な関数が多項式関数として表され,また近似をもとめることができるということ)。その後,サイン関数とコサイン関数のマクローリン展開を紹介し,n回導関数との関係を説明しました。指数関数y=e^xのマクローリンの定理を考えるとき,複素数の範囲まで対象を広げることで,サイン関数とコサイン関数のマクローリン展開の式により,オイラーの公式が導かれることを説明しました。
  • キーワード:テイラーの定理,マクロ−リンの定理,オイラーの公式
  • 中間試験を実施(60分)
  • p.34問1,例1
  • p.35例2,問2,問3
10 6月22日
  • 教科書:pp.35-40
  • 内容:マクローリン展開公式について具体的に演習しました(p.35問3(1),p.134-6)。その後,関連する問題として極値を求める問題を解説しました(p.38問4(2))。これらは関連する問題として理解するようにしましょう。次に第2次導関数の意味について,変曲点,上に凸,下に凸(凹)とあわせて解説しました。最後に,積分のはなしをしました。積分の基本公式はスラスラ使えるように暗記しておいてください。基本は暗記です。
  • キーワード:マクローン展開,極値,変曲点,凸関数,原始関数,不定積分
  • p.35問3
  • p.36例1,問1
  • p.37問2
  • p.38例2,問3,例3,問4
11 6月29日
  • 中間試験答案を返却予定(時間が無くなったため延期)
  • 教科書:pp.41-44
  • 問題を1題1題解説しながら解いていきました。先取りしながら解説をしていますので,先の方のどんどん勉強できるようになっているはずです。
  • キーワード:置換積分法,部分積分法,部分分数展開
  • p.41問1
  • p.42問2
  • p.44問3(1)-(2)
12 7月6日
  • 中間試験答案を返却しました。平均点は64.5点でした。
  • 教科書:pp.44-45,p.48
  • 前回の続きの問題を解きました。被積分関数を見て,置換積分の問題か,部分積分の問題かなど直観的にわかるようにしましょう。有理関数の積分は高校では学ばない範囲です。手順を良く覚えて,具体的な問題により解けるようにしましょう。
  • キーワード:有理関数,定積分
  • p.44問3(3),問4,問5,問6,p.45例6,問7
13 7月13日
  • 教科書:pp.45-46
  • 有理関数の積分を中心に問題演習をしました。
  • キーワード:有理関数の積分
  • p.45問7
  • p.46問8,問9
14 7月20日
  • 教科書:pp.46-63
  • 不定積分における計算はほぼ全て終了しましたので,あとは応用としての積分の問題を解説していきました。閉区間で定義された連続関数は常に積分可能であることは押さえておいてください。また置換積分と部分積分法の積分範囲について説明しました。ここまでが期末試験の範囲です。あとは第3章の残りの部分について用語と意味を理解することを中心に解説していきました。
  • キーワード:定積分,面積確定,積分可能,平均値の定理,微分積分学の基本定理,区分求積法,定積分での置換積分法,定積分での部分積分法,広義積分,無限積分,ベータ関数,ガンマ関数,曲線の長さ,極座標,極座標変換,回転体の体積
  • p.48問2
  • p.51例3,問3,問4,
  • p.52例4,例5,例6
  • p.53問6
以上が期末試験範囲です。pp.54-63までの問題は夏休みにトライして下さい。p.59の問1,問2については問題の曲線を図示したものをプリントで配布しました。役立ててください。
15 7月27日
  • 期末試験(90分)

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